» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Somiglia a un frattale ma non lo è

Luglio 8th, 2022 | by Marcello Colozzo |

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Esercizio
Studiare la serie di funzioni:

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Soluzione

Il termine generico della serie è la funzione

manifestamente periodica di periodo

per cui limitiamoci all'intervallo di periodicità [-2^-kπ,^-kπ]. Dalle considerazioni dell'esercizio precedente, segue che l'andamento del grafico di tale funzione, riportato in fig.

Per avere un'idea più chiara, in figura plottiamo le prime due funzioni cioè per k=0,1.

Per k=0,1,2 otteniamo gli andamenti di fig.

Infine, per k=0,1,...,10 otteniamo una struttura ancora più complessa

Analiticamente, osserviamo che la successione {T_k}} è infinitesima:

Ne segue che tale è la successione di funzioni {f_k}(x)}, per cui ci aspettiamo una convergenza della serie proposta. La somma parziale di ordine n è

che è manifestamente periodica di periodo 2π. In fig. gli andamenti per n=0,...,5.

Per n=50 riportiamo l'andamento della somma parziale in fig.

mentre in fig. il medesimo andamento in [-6π,6π].

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