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Dall'equazione di Langevin alla mobilità degli elettroni/lacune in un semiconduttore

Riprendiamo un attimo l'equazione di Langevin che come è noto, governa il moto di una particella in un fluido viscoso (moto browniano, random walk). Dalla fig. 1 vediamo che se consideriamo solo il termine di viscosità (e non gli urti), nel caso particolare unidimensionale, il moto è esponenzialmente decelerato (il risultato si generalizza immediatamente a 3-dim). Ciò è ovvio, in quanto se la particella ha una velocità iniziale non nulla, la resistenza passiva offerta dal mezzo (cioè, il fluido) determina una decelerazione e quindi, un istante di arresto. Diversamente, introducendo il termine che tiene conto degli urti (elastici) con le molecole del fluido, la corrispondente equazione differenziale del moto ammette soluzioni (velocità) che non si annullano identicamente. Se poi il predetto termine è una variabile aleatoria che schematizza il carattere casuale degli urti, allora otteniamo il ben noto random walk. In particolare, se la resistenza passiva è del tipo R=-bv, dove v è la velocità della particella, e b>0 un coefficiente di proporzionalità (siamo in regime lineare), allora possiamo definire una mobilità μ=b/m dove m è la massa inerziale della particella, e un tempo di rilassamento. τ_r=m/b. Tutto questo ci ricorda la mobilità dei semiconduttori che, però, è definita come il rapporto tra il modulo della velocità di drift (i.e. di deriva) e l'intensità del campo elettrico. Nel moto browniano, invece, non esistono forze esterne (tipo "campo elettrico" o qualsiasi altro campo di forze) e la "propulsione" è generata dagli urti con le molecole del fluido. Incidentalmente, abbiamo visto che in assenza di urti il moto è esponenzialmente decelerato. Ne consegue che nel caso dei semiconduttori (ma ciò si generalizza anche agli elettroni di conduzione di un metallo) gli urti contro i nuclei/ioni del reticolo sono inglobati nel termine R, cioè nella resistenza passiva. E e in tal modo le definizioni di mobilità si equivalgono. In più, si spiega benissimo la dissipazione dell'energia cinetica (effetto Joule nel caso delle cariche elettriche).

Ci sono altre considerazioni di carattere statistico. Più precisamente, la nozione di mobilità nei semiconduttori è definita statisticamente, in quanto è una conseguenza del modello di Drude in cui il tempo di rilassamento è definito attraverso la funzione di autocorrelazione. Diversamente, l'equazione di Langevin si riferisce a una sola particella. E nulla ci impedisce di generalizzare tale equazione a un gran numero di particelle che eseguono un random walk in un fluido viscoso. Quali le conseguenze e le ricadute nei semiconduttori? Domanda interessante, soprattutto per quanto riguarda la nuova generazione di semiconduttori SiC/GaN, in cui il «gioco sporco» è svolto soprattutto dalla modulazione della mobilità dei portatori di carica.