Equazione di stato per i gas perfetti

Gennaio 11th, 2022 | by Marcello Colozzo |

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Per quanto detto nei numeri precedenti, la termodinamica studia il comportamento termico della materia, indipendentemente dalla struttura atomistica della stessa. In altri termini, ci si riferisce a proprietà globali efficacemente rappresentate dalle variabili di stato (pressione, volume, temperatura, etc.). Tuttavia, per molti sistemi è necessario studiare i processi fisici a scala microscopica. Un tipico esempio è rappresentato da un gas quale sistema costituito da un numero straordinariamente grande di "costituenti fondamentali" (atomi o molecole), per cui è impossibile determinare l'evoluzione dinamica di singola particella a partire da uno stato meccanico iniziale (posizione e velocità) altrettanto impossibile da assegnare. Ma è proprio l'elevato numero di particelle che ci consente di applicare un procedimento di natura statistica, in modo da poter eseguire delle operazioni di media sulle varie grandezze fisiche manifestamente coincidenti con le variabili di stato. Rammentiamo che tale approccio è il building block della Meccanica statistica che costituisce un edificio concettuale distinto dalla Termodinamica.

Ciò premesso, i gas perfetti sono sistemi termodinamici ideali costituiti da N » 1 particelle non interagenti, e che approssimano molto bene i gas reali nel limite delle grandi rarefazioni. Le appropriate variabili di stato sono P,V,T, per cui abbiamo un sistema in grado di scambiare energia meccanica con l'ambiente attraverso il lavoro di forze di pressione.

L'equazione di stato per un qualunque sistema termodinamico caratterizzato da n variabili di stato x1,x2,...,xn, è una relazione del tipo


dove f è un'assegnata funzione. Nel caso di un gas perfetto:

per cui la conoscenza dell'equazione di stato riduce a 2 il numero di variabili indipendenti del sistema. Dal comportamento sperimentale dei gas reali nel lmite delle grandi rarefazioni, si ha:

dove T0=237.15K è lo zero della scala centigrada, mentre V00,P0 sono rispettivamente volume e pressione alla predetta temperatura. Assumiamo, dunque, che le relazioni scritte sopra conservino la validità per i gas perfetti. Consideriamo ora la seguente trasformazione termodinamica: un gas perfetto di massa m è inizialmente preparato nello stato (V00,P00) rappresentato nel piano di Clapeyron in fig. 1.

a) Riscaldiamo il gas fino alla temperatura T, mantenendo costante il volume. Ne segue che il valore della pressione sarà:


b) Facciamo espandere isotermicamente (T=costante) il gas fino al raggiungimento del volume V1 (fig. 1). Quindi

Tenendo conto dell'equazione precedente, si ha:

Siccome lo stato finale può essere assegnato ad arbitrio (a meno di limiti fisici legati al massimo volume di espansione), possiamo far cadere gli apici a primo membro della relazione scritta sopra:

Il valore della costante dipende ovviamente dalla natura del gas, e anche dalla sua massa giacché compare la variabile estensiva V0. Dunque scriviamo


essendo R' una costante dipendente esclusivamente dalla natura del gas. Per svincolarci da quest'ultima utilizziamo la legge di Avogadro secondo cui il numero di molecole [atomi] contenute in una grammo-molecola [grammo-atomo], è una costante (numero di Avogadro):


Se M è il peso molecolare [atomico] si ha che il numero di grammo-molecole [grammi-atomi] in m è


In definitiva:

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