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La condensazione di Bose-Einstein

Dicembre 26th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Come è noto, un gas di particelle quantistiche di spin intero ed in equilibrio termodinamico, obbedisce alla statistica di Bose-Einstein, per cui denotando con N il numero di particelle, si ha:

Qui la sommatoria è estesa a tutti i livelli energetici di singola particella. Incidentalmente, g_i > = 1 è il grado di degenerazione del livello i-esimo (numero di stati con la stessa energia &epsilon_i). Le altre grandezze sono:

essendo k_B è la costante di Boltzmann mentre T è la temperatura di equilibrio termodinamico.

L'energia totale si scrive:

In approssimazione di spettro continuo, le sommatorie andranno rimpiazzate da integrali. Ad esempio:

dove ora compare la densità degli stati g(ε) quale generalizzazione al continuo del grado di degenerazione. Precisamente, g(ε)dε è il numero di stati di energia in [ε,ε+dε]. Volendo discutere il limite per T->0, è necessario osservare che i bosoni non obbediscono al principio di esclusione di Pauli per cui al decrescere della temperatura tendono ad occupare i livelli energetici più depressi. Un calcolo di g(ε) mostra che g(0)=0; ne segue che nell'approssimazione di spettro continuo per T->0, dobbiamo separare il termine relativo al livello fondamentale e₀=0 con g₀=1 giacché il livello fondamentale è nondegenere:

Definiamo

Quindi

Per quanto precede

D'altra parte

Ad esempio

Con tali ordini di grandezza è lecito trascurare µ nel calcolo dell'integrale:

Riguardo a g(ε) si dimostra che in regime nonrelativistico è

dove h è la costante di Planck, mentre m è la massa di singola particella. Calcolando l'integrale, si trova:

avendo introdotto la temperatura critica:

Per T > = T_c la popolazione del livello fondamentale è trascurabilmente piccola. Viceversa, per T < T_c un numero macroscopico di particelle occupa lo stato fondamentale. Più precisamente, il sistema subisce una transizione di fase nota come condensazione di Bose-Einstein. Ciò si è sperimentalmente osservato nell' He4 il quale avendo spin nullo è un bosone. Un gas di He4 ha una temperatura critica di 4.22K e la corrispondente transizione di fase è caratterizzata dall'annullarsi della viscosità. Questo comportamento è noto come superfluidità.

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