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L'Entanglement Quantistico è un White Noise?

Novembre 11th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Scattering protone-protone a bassa energia

Si consideri il processo di scattering protone-protone a bassa energia. Nell'autostato del momento angolare orbitale (totale) con L=0 per il principio di esclusione di Pauli, il sistema si troverà nello stato di singoletto di spin. Per essere più precisi denotiamo con H_k^(spin) lo spazio di Hilbert degli stati di spin di singolo protone (k=1,2). Come è ben noto (trattandosi di spin 1/2):

Ne segue che lo spazio di Hilbert degli stati di spin del corrispondente sistema composito, è con ovvio significato dei simboli:

Se S₁ e S₂ sono gli operatori autoaggiunti che rappresentano le osservabili di spin di singolo protone, si hanno le seguenti equazioni agli autovalori

avendo orientato l'analizzatore di spin lungo l'asse di versore n. Il momento angolare di spin totale è

ove compaiono gli operatori unitari dei rispettivi spazi di Hilbert. A questo punto è essenziale osservare che stiamo utilizzando il formalismo di prima quantizzazione, giacché trattandosi di un processo di bassa energia ci aspettiamo una regime nonrelativistico. Dobbiamo dunque specificare il sistema di riferimento inerziale rispetto al quale osserviamo il processo. Più precisamente, consideriamo il caso di due sperimentatori (Alice e Bob, fig. fig. 1) che hanno orientato l'asse x del predetto sistema di riferimento, nella direzione di scattering e con l'origine O nella posizione di avvenuta interazione, e che distano d»1. Successivamente, i due protoni si allontanano nei due versi opposti dell'asse x. Si badi che tale argomentazione è alquanto imprecisa, giacché il principio di indeterminazione di Heisenberg impedisce di assegnare una traiettoria, per cui è più corretto riferirsi alla propagazione di pacchetti d'onda.

Entanglement and White Noise

Dalle regole di composizione del momento angolare, lo stato di singoletto di spin (spin totale S=0) si scrive:

dove

Nel secondo membro compare il prodotto diretto gli autostati della componente di spin lungo l'asse x, di singolo protone.
Ipotesi:

1. Alice misura S_1z o S_1x o non compie misure.
2. Bob misura S_2x.

È altresì chiaro che se Alice misura S_1z e trova ad esempio spin up |z->₁, Bob ha una probabilità pari a 1/2 di trovare |x->₂ o |x->₂. Ne consegue che lo stato di spin del protone 2 è completamente indeterminato, anche in seguito alla misura eseguita da A.
Osservazione

Si noti che se diversamente dalle ipotesi, Bob misura la componente di spin secondo l'asse z, trova con certezza |z+>₂, se il risultato della misura di Alice è |z->₁. A tale conclusione si giunge facilmente scrivendo il ket del singoletto di spin in termini di autoket delle singole componenti lungo l'asse z.

Nella seconda opzione, cioè se Alice misura S1_x, dalla eq. scritta più sopra segue che se A trova |x->₁ allora Bob troverà con certezza l'autostato |x+>₂. Infine, se Alice non compie misure, lo stato della componente di spin lungo l'asse x, della particella 2 è completamente indeterminato.

In generale, esiste una correlazione al 100% tra la misura di Alice e quella di Bob, se e solo vengono eseguite misure di componenti omonime degli spin di singola particella. Viceversa, esiste una correlazione completamente casuale nel caso di misure di componenti eteronime. Inoltre se Alice non compie misure, i risultati di Bob sono casuali.

Ne consegue che i risultati di Bob dipendono da cosa fa Alice, osservando che essi possono trovarsi ad anni luce di distanza. In questa framework, eseguire una misura su una parte del sistema i.e. su una delle due particelle, equivale a compiere una misura sull'intero sistema composito. Diremo, dunque, che il sistema è entangled i.e. non-separabile.
Interpretando gli effetti delle misure di Alice su quelle di Bob, nel caso di componenti eteronime, si conclude che tale segnale è in realtà un white noise, in quanto i valori assunti sono scorrelati al 100%.

Tags: entanglement quantistico, spin, white noise

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