» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Regolatore a sfere centrifughe

Ottobre 25th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

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Esercizio

La fig. 1 mostra un regolatore a sfere centrifughe, del quale trascureremo attriti e masse non specificatamente indicati. Si chiede di calcolare:

a) l'altezza di equilibrio della massa M;
b) la frequenza di piccole oscillazioni attorno a questo valore.

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Soluzione
Quesito a

Sia z l'asse di rotazione del regolatore, e l'asse y sia perpendicolare al piano del foglio. Le coordinate delle masse m e M sono quindi:

Le rispettive velocità:

L'energia cinetica:

L'energia potenziale:

Quindi la lagrangiana:

Segue l'equazione del moto nella forma di Eulero-Lagrange:

Calcolando le derivate, dopo qualche passaggio:

All'equilibrio si ha:

Dunque l'equazione del moto diventa:

Risolvendo rispetto a θ₀, otteniamo due posizioni di equilibrio:

e dunque la distanza della massa M dall'origine della terna d'assi cartesiani sarà:

Quesito b

Nella condizione θ₀=0 c'è riposo o collasso del regolatore. Esaminiamo la seconda condizione di equilibrio. Poniamo

Per piccole oscillazioni abbiamo

dunque

Tenendo conto solo dei termini del primo ordine delle piccole quantità

l'equazione del moto diventa:

che è un'equazione del tipo oscillatore armonico. Ne segue la frequenza di oscillazione:

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