Equazione di Schrödinger: soluzioni del tipo onda stazionaria

Ottobre 24th, 2021 | by Marcello Colozzo |

equazione di Schrödinger dipendente dal tempo,equazione di Schrödinger stazionaria


Consideriamo un sistema quantistico costituito da una particella di massa m vincolata a muoversi lungo l'asse x, sede di un campo di forze conservativo di energia potenziale V(x).
Ricerchiamo soluzioni dell'equazione di Schrödinger (dipendente dal tempo)


del tipo onda stazionaria

per cui

Dal momento che cerchiamo soluzioni non nulle, la precedente equazione si riscrive:

che è verificata se e solo se primo e secondo membro si riducono identicamente a una costante comune che assumiamo reale e denotata con E (con le dimensioni di un'energia)


Nella prima riconosciamo l'equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo (i.e. stazionaria):

le cui soluzioni dipendono da V(x) e in particolare la presenza di stati legati (come si evince da un'analisi qualitativa). L'altra equazione, invece, si risolve facilmente per separazione di variabili:


avendo introdotto la frequenza angolare (in accordo con le notazioni usuali della meccanica quantistica):

Ne segue la soluzione del tipo onda stazionaria:

avendo introdotto una costante di normalizzazione, richiesta dall'interpretazione fisica della funzione d'onda, cioè


è la densità di probabilità di trovare la particella al tempo t nel segmento infinitesimo [x,x+dx], per cui

La linearità dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, ci consente di contemplare una soluzione che è una sovrapposizione lineare di infinite onde stazionarie:


dove la parte spaziale risolve l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo.

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