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Periodicità di una tassellatura del piano. La congettura di Wang

Per parlare ancora di tassellatura del piano, introduciamo alcune analogie con la fisica, osservando preliminarmente che la tassellatura di fig. 1 proposta dall'artista Erasmo Falanga è "globalmente asimmetrica", ma potrebbe non esserlo localmente. Per essere più precisi, a noi interessa una simmetria per traslazione, nel senso che un ente geometrico è invariante per traslazione se e solo se rimane immutato comunque lo "spostiamo" nello spazio ambiente (nel caso in esame lo spazio ambiente è il piano euclideo). Peraltro, la nozione di simmetria è fondamentale in fisica teorica, giacché una simmetria è sempre associata a una grandezza che si conserva. Ad esempio, se l'energia di un sistema fisico è invariante per traslazione spaziale, il sistema conserva la quantità di moto (prodotto della massa inerziale del corpo per la sua velocità). Se, invece, l'energia è invariante per evoluzione temporale (una locuzione equivalente è "traslazione temporale"), il sistema conserva l'energia.
Quanto appena esposto è una proprietà generale nota come Teorema di Noether.

Una rottura spontanea di simmetria è, quindi, accompagnata dalla non conservazione della corrispondente grandezza fisica. Un esempio supergettonato è dato dai famosi cristalli temporali, in cui si verifica una rottura spontanea di simmetria dell'hamiltoniana (i.e. energia) rispetto alle traslazioni temporali.
Una condizione più debole della simmetria per traslazioni spaziali è la periodicità. E ciò si applica al caso delle tassellature, con evidenti ricadute nella fisica dello stato solido, ove i singoli atomi si dispongono con una assegnata periodicità. Matematicamente, abbiamo un'energia potenziale periodica rispetto alle coordinate (x,y,z), e tale proprietà viene utilizzata per risolvere l'equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo (equazione agli autovalori).
La periodicità, è dunque, una simmetria "più debole". Incidentalmente lo studio della periodicità di una tassellatura ha notevoli ricadute sulla crescita dei cristalli (argomento della fisica dello stato solido).
Non è per nulla facile stabilire la periodicità di una tassellatura. Infatti:
Congettura di Wang
Una qualunque tassellatura del piano modellizzabile attraverso un sistema formale è necessariamente periodica.
La congettura è stata confutata dal matematico R. Berger che dimostrò l'aperiodicità di una tassellatura di 26.426 tasselli; questo numero scese rapidamente nel 1971, quando R. Robinson dimostrò l'esistenza del più piccolo insieme aperiodico (6 tasselli).

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