» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Teorema di Menelao

Luglio 14th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Appunti ed esercizi di Geometria elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Sia dato un triangolo ABC (fig. 1). Dai vertici A e B si traccino le mediane per definire il baricentro G. La mediana AM sia aumentata di 1/3 per definire il punto P. Da P si traccino le parallele ai lati AB e AC per definire i punti P₁ e P₂. La parallela al lato CB dal punto P si incontrerà con il prolungamento di AB definendo il punto P₃. Provare che i punti P₁,P₂,P₃ sono allineati.

Soluzione
Osserviamo che i triangoli CMA e P₁MP sono simili e che

Analogamente per i triangoli AMB e PMN:

Quindi:

Poiché CM=MB è MP₁=MN e CN=P1B. Osserviamo che il triangolo CMA; si ha:

Nel triangolo ABC si può scrivere:

Anche nel triangolo APP₃, poiché il segmento MP è parallelo al segmento PP₃ si ha

Moltiplicando

ovvero i tre punti sono allineati.

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