Riduzione dell'ordine di una PDE

Aprile 30th, 2021 | by Marcello Colozzo |

equazione di Klein-Gordon,equazione differenziale alle derivate parziali

Prima di continuare facciamo alcune osservazioni, in quanto il procedimento utilizzato da Pauli e Weisskopf nel raggirare il problema del segno della densità di probabilità ρ, è matematicamente implementato da un artificio che abbassa di una unità l'ordine di derivazione parziale rispetto alla variabile temporale. Tale artificio potrebbe essere qualcosa di profondo (e infatti, permette di definire un nuovo ente fisico: l'antiparticella) o al contrario, rappresentare una forzatura nel senso che comunque prendiamo un'equazione differenziale del tipo di Klein-Gordon esiste una trasformazione che scinde tale equazione in un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine rispetto alla derivata temporale. Per mostrare ciò, non consideriamo nemmeno la Klein-Gordon bensì l'equazione di D'Alembert:

dove per semplicità consideriamo una sola dimensione spaziale. Come è noto, le condizioni iniziali che determinano univocamente una soluzione sono:

Nulla ci impedisce assumere la grandezza vibrante &pshi; quale elemento dello spazio di Hilbert L²(R) in modo da conservare l'aderenza alla Meccanica quantistica. Ora consideriamo un'equazione differenziale per la medesima grandezza ma del tipo Schrödinger:

Il lettore attento capirà al volo che è l'equazione di Schrödinger della particella libera in regime non relativistico (ovviamente!). Poniamo

Ne segue

Abbiamo così ridotto l'eq. di D'Alembert in un sistema di equazioni del tipo Schrödinger. A questo punto introduciamo lo spinore a due componenti:

per poi definire un operatore hamiltoniano per mezzo delle matrici di Pauli. L'evoluto temporale di uno stato iniziale dovrà necessariamente contenere stati a energia negativa corrispondenti ad antiparticelle.

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