Orbite chiuse e orbite aperte

Aprile 6th, 2021 | by Marcello Colozzo |

orbita chiusa,orbita aperto,pericentro,apocentro

Alcune osservazioni/correzioni su questa lezione.
Senza perdita di generalità, supponiamo che l'energia potenziale efficace sia del tipo di fig.

Dallo studio dei moti unidimensionali in un campo conservativo , sappiamo che la particella compie un moto periodico (rispetto alla coordinata radiale r) di periodo

Come varia l'angolo polare (anomalia)? Nel frattempo, osserviamo che la regione classicamente accessibile è:

cioè l'orbita è contenuta nella corona circolare di centro l'origine e raggi r_min,r_max,.

r_min è il modulo del vettore posizione del punto più vicino al centro della forza. Chiamiamo tale punto pericentro. Allo stesso modo, chiamiamo apocentro il punto più lontano, i.e. di vettore posizione di modulo r_max. Le rispettive anomalie sono:

Ne segue l'angolo tra pericentro e apocentro:

Vediamo ora sotto quali condizioni l'orbita è chiusa, ovvero è una curva regolare semplice e chiusa (nel senso della geometria differenziale. Supponiamo che la particella si trovi inizialmente nel pericentro A₁, come in fig.

Quindi percorre l'arco di orbita γ₁ impiegando un tempo

Dalla periodicità del moto radiale, segue che giunta in A₂, la particella si sposterà nuovamente verso r_min, ma attenzione: ciò non significa che verrà percorso a ritroso l'arco γ₁. Infatti, dalla predetta figura. vediamo che la particella percorre l'arco γ₂, impiegando un tempo pari a T/2. Ciò implica che l'angolo polare tra A₂ e A₃ è ancora Δφ. Precisamente, l'angolo polare di A₂ è

Dal momento che

si ha

Dal punto A₃ la particella percorre l'arco γ₃ fino all'apocentro A₄ di angolo polare

Nella figura più sopra abbiamo supposto Δφ=π/2, per cui percorrendo l'arco γ₃, la particella si troverà nuovamente in A₁, per cui l'orbita è chiusa. Riepilogando: