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Esercizio 1. Insieme di definizione di una funzione reale di due variabili

Gennaio 3rd, 2021 | by Marcello Colozzo |

insieme di definizione, funzione di due variabili,disequazioni in due variabili
Fig. 1


Esercizio

Determinare l'insieme di definizione specificandone la topologia, della seguente funzione reale:


Soluzione
L'insieme di definizione della funzione assegnata, è l'insieme delle soluzioni della disequazione:


cioè l'unione delle soluzioni dei sistemi:

Risolviamo il primo.

ovvero il cerchio aperto con centro in (0,0) e raggio 4. La seconda disequazione è:


le cui ovvie soluzioni sono graficate in fig.

Da ciò segue che l'insieme delle soluzioni del primo sistema di disequazioni è

cioè la corona circolare aperta con centro l'origine e raggi 2 e 4.
Il secondo sistema di disequazioni è equivalente a


il cui insieme di soluzioni è l'insieme vuoto. Quindi l'insieme di definizione della funzione assegnata è

cioè la predetta corona circolare, illustrata in fig. 1.


Exercise

Determine the definition set by specifying the topology of the following real function:


Solution
The set of definition of the assigned function is the set of solutions of the inequality:


i.e. the union of the solutions of the systems:

Let's solve the first.

that is the open circle with center at (0,0) and radius 4. The second inequality is:


whose obvious solutions are plotted in fig.

From this it follows that the set of solutions of the first system of inequalities is

that is the open circular crown with the center of the origin and rays 2 and 4.
The second system of inequalities is equivalent to

whose set of solutions is the empty set. So the definition set of the assigned function is

that is, the aforementioned circular crown, illustrated in fig. 1.

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