Esercizio 3. Retta tangente a una curva piana data in forma implicita
Gennaio 1st, 2021 | by Marcello Colozzo |
Esercizio
Assegnata la curva

1) Scrivere l'equazione della tangente in P(1,0)
2) Classificare gli eventuali punti singolari.
Soluzione
Poniamo

L'equazione della retta tangente è

Calcoliamo le derivate parziali:

Segue

Quindi l'equazione richiesta:

Per il quesito 2 dobbiamo risolvere il sistema:

di non facile soluzione. In generale, il sistema di equazioni

non è facile da risolvere. Ricordiamo che tale sistema restituisce gli zeri del gradiente di F(x,y). Infatti, dall'Analisi vettoriale sappiamo che a un campo scalare F(x,y) possiamo associare il campo vettoriale «gradiente»:

Alternativamente, il predetto sistema risolve l'intersezione delle superfici

per cui ci aspettiamo che tale intersezione sia una curva Γ. Tuttavia, a noi interessano gli zeri del gradiente appartenenti alla curva assegnata. Ne segue che il sistema da risolvere è in realtà:

che nel caso di funzioni troppo "complicate" può essere risolto con un software del tipo Mathematica, tracciando le curve di livello delle singole funzioni per poi studiarne l'intersezione. Nel caso in esame, abbiamo l'andamento riportato nella seguente figura:

dove i singoli colori si riferiscono alla curva di livello 0 di singola funzione. Da qui vediamo che non esistono intersezioni. Ne concludiamo che la curva assegnata non ha punti singolari. Uno dei rami è tracciato in fig. 1.
Exercise
Let's consider the curve

1) Write the equation of the tangent in P(1,0)
2) Classify any singular points.
Solution
Let's say

The equation of the tangent line is

Let's calculate the partial derivatives:

It follows

Then the required equation:

For question 2 we have to solve the system:

not easy to solve. In general, the system of equations

it's not easy to fix. Recall that this system returns the zeros of the gradient of F (x, y). In fact, from the Vector analysis we know that to a scalar field F(x, y) we can associate the "gradient" vector field:

Alternatively, the aforesaid system solves the intersection of the surfaces

so we expect this intersection to be a Γ curve. However, we are interested in the zeros of the gradient belonging to the assigned curve. It follows that the system to be solved is actually:

that in the case of functions that are too "complicated" can be solved with a software of the Mathematica type, tracing the level curves of the single functions and then studying their intersection. In the case in question, we have the trend shown in the following figure:

where the single colors refer to the level 0 curve of a single function. From here we see that there are no intersections. We conclude that the assigned curve has no singular points. One of the branches is drawn in fig. 1.
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