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Evoluta della parabola

Dicembre 29th, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Esercizio

Trovare l'evoluta della parabola y²=2px.

Soluzione
Una rappresentazione parametrica della parabola assegnata è

Dobbiamo utilizzare le ben note equazioni per calcolare le coordinate del centro di curvatura:

Abbiamo

Quindi

Siccome l'evoluta è il luogo dei centri di curvatura, le equazioni appena scritte costituiscono una rappresentazione parametrica di tale curva. Riscriviamole per chiarezza nella forma consueta:

Per vedere di quale curva si tratta, eliminiamo il parametro t. Ad esempio, dalla prima ricaviamo

che sostituito nella seconda, dopo qualche passaggio:

cioè una semicubica con cuspide in (p,0), e che interseca la parabola nei punti

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Exercise

Find the evolute of the parabola y² = 2px.

Solution
A parametric representation of the assigned parabola is

We have to use the well-known equations to calculate the coordinates of the center of curvature:

We have

Therefore

Since the evolute is the locus of the centers of curvature, the equations just written constitute a parametric representation of this curve. Let's rewrite them for clarity in the usual form:

To see which curve it is, we delete the parameter t. For example, from the first we get

which replaced in the second, after a few steps:

that is, a semicubic with a cusp at (p, 0), and which intersects the parabola at the points

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