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Famiglia di parabole inviluppata dagli assi coordinati

In tutti gli esercizi svolti fino a questo momento, ci siamo concentrati sulla ricerca delle soluzioni del sistema di equazioni che conducono a una qualche rappresentazione parametrica dell'inviluppo di una famiglia di curve piane. Ma non sempre i risultati raggiunti sono così immediati ed è facile confondersi, perché anziché trovare l'inviluppo si determina il luogo dei punti singolari come visto nell'esercizio precedente. Bisogna allora studiare l'eventuale presenza di punti singolari. L'esempio che proponiamo è ancora più suggestivo, in quanto contiene un punto singolare con sorpresa finale: l'inviluppo è l'unione degli assi coordinati.

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In all the exercises carried out so far, we have concentrated on finding solutions to the system of equations that lead to some parametric representation of the envelope of a family of plane curves. But the results achieved are not always so immediate and it is easy to get confused, because instead of finding the envelope we determine the place of the singular points as seen in the previous exercise. It is therefore necessary to study the possible presence of singular points. The example we propose is even more suggestive, as it contains a singular point with a final surprise: the envelope is the union of the coordinate axes.

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