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Il caso dell'oscillatore armonico (stabilità secondo Lyapunov)

Novembre 17th, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Ricerca della curva di fase per un assegnata condizione iniziale

L'oscillatore armonico unidimensionale è una particella di massa m che si muove sull'asse x ed è ivi soggetta a una forza elastica F(x)=-kx con k>0 (costante elastica). Quindi il nostro problema di Cauchy si scrive:

Segue

il cui integrale generale è

Derivando

Imponendo le condizioni iniziali, troviamo l'unica soluzione del predetto problema di Cauchy

che costituisce una rappresentazione parametrica della curva di fase del sistema.

Ricerca di punti di equilibrio

In virtù di questo teorema i punti di equilibrio sono tutti e soli i punti critici dell'energia. Per scrivere la funzione E(x,y), calcoliamo l'energia potenziale

Ponendo lo zero dell'energia potenziale in x=0 e facendo intervenire la pulsazione ω:

per cui

I punti critici sono gli zeri del gradiente di tale funzione:

Ne consegue che esiste un solo punto di equilibrio posto nell'origine (0,0) del piano delle fasi.

Studio della stabilità secondo Lyapunov

Deve essere

Dobbiamo studiare le disuguaglianze

Dalle precedenti

Operando in modo simile per |y(t)| otteniamo

La prima è verificata per |x₀| < δ_ε,|y₀| < δ_ε, con

La seconda invece è verificata per un

Affinché siano verificate entrambe:

Cioè

In definitiva:

Ne concludiamo che (0,0) è un punto di equilibrio stabile (secondo Lyapunov) per l'oscillatore armonico. Geometricamente, troviamo che la curva di fase è tracciata nel quadrato R_{e} di figura:

Tags: oscillatore armonico, posizione di equilibrio stabile, stabilità secondo Lyapunov

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