Intepretazione formale dei punti di equilibrio (dinamica unidimensionale)

Novembre 16th, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Definizione
Dicesi punto di equilibrio del sistema di equazioni differenziali

un punto (ξ₀,0) del piano delle fasi, tale che assegnata una condizione iniziale

il predetto sistema ammette l'unica soluzione

Osservazione
La lipchitzianità di F(x) è condizione sufficiente per l'unicità della suddetta soluzione.

Ciò premesso, dimostriamo il teorema:
Teorema
Assegnato il sistema di equazioni differenziali

con F(x) lipchitziana, il punto (ξ₀,0) è di equilibrio se e solo se è un punto critico dell'energia.

Dim.

La condizione è sufficiente
Per ipotesi (ξ₀,0) è punto di equilibrio. La lipchitzianità di F(x) implica che l'unica soluzione del sistema per una condizione iniziale x(t₀)=ξ₀,y(t₀)=0 è

Dalla seconda equazione differenziale:

Cioè (ξ₀,0) è punto critico.
La condizione è necessaria
Per ipotesi (ξ₀,0) è un punto critico dell'energia, onde V'(ξ₀)=0. Impostiamo il problema di Cauchy

Segue immediatamente che x(t)=ξ₀,y(t)=0 è una soluzione di P. Dal momento che F(x) è lipchitziana, non esistono altre soluzioni, per cui (ξ₀,0) è punto di equilibrio.