» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Congetture di Aizerman e Kalman

Congettura di Aizerman
Se il sistema lineare è asintoticamente stabile per ogni f(y)=ky, con k in [k₁,k₂] allora l'origine del sistema a ciclo chiuso, mostrato in Figura 1, con una non linearità tempo invariante

è asintoticamente stabile.

Aizerman congettura che se il vettore Ax+Bφ(y) è Hurwitz per ogni funzione lineare phi;(·), allora il punto x=0 può essere globalmente asintoticamente stabile per ogni funzione tale che il rapporto

Congettura di Kalman
Se il sistema lineare è asintoticamente stabile per ogni φ(y)=ky, essendo

allora l'origine del sistema a ciclo chiuso, mostrato in Figura 1, con una non linearità tempo invariante φ(·) tale che

è asintoticamente stabile.

Kalman congettura che se il vettore Ax+Bφ(y) è Hurwitz per ogni funzione lineare f(·), allora il punto x=0 può essere globalmente asintoticamente stabile per ogni f(·) continuamente differenziabile la cui pendenza rimane limitata in

Le due congetture sopra esposte possono essere viste come casi particolari di un problema più generale conosciuto nella letteratura di matematica applicata come Marcus-Yamabe Conjecture (MYC) [1] e, se fossero verificate, semplificherebbero molto l'analisi dei sistemi di controllo includenti non linearità. Purtroppo è stato dimostrato mediante controesempi [2] che queste congetture sono false. Occorre determinare altri criteri per ottenere condizioni sufficienti affinché il sistema di Figura 1 sia globalmente asintoticamente stabile.

Si noti che nella definizione di settore incrementale per σ₁=0 si ottiene la definizione di settore utilizzata nella congettura di Aizerman, mentre per σ₂->σ₁ si ottiene il settore relativo alla congettura di Kalman.

Tags: congettura di Aizerman, congettura di Kalman, Marcus-Yamabe Conjecture