[¯|¯] Tensori controvarianti di rango r (parte seconda)

Marzo 6th, 2020 | by Marcello Colozzo |

Nel numero precedente abbiamo definito le "componenti" di un tensore controvariante di rango r. È chiaro che tale locuzione ha senso solo se è stata assegnato innanzitutto uno spazio vettoriale di appartenenza, e poi una sua base. A tale scopo definiamo innanzitutto l'insieme delle applicazioni r-lineari introdotte nel numero precedente:

dove il doppio asterisco denota lo spazio biduale di E_n. Siccome esiste un isomorfismo naturale tra un qualunque spazio vettoriale e il suo biduale, possiamo identificare E_n^** con E_n, per cui scriviamo semplicemente:

avendo però l'accortezza di denotare una base di E_n con un simbolo del tipo

per ricordare che stiamo in realtà lavorando sullo spazio biduale. Più precisamente, se {e_i} è una base assegnata di E_n, si ha che la base duale ad essa associata è

mentre la base biduale associata alla base {e_i} ovvero la base duale associata a {θ^j}, è

che è ovviamente una base E_n, tuttavia in generale distinta dalla base di partenza {e_i}.

Riepilogando: lavoriamo su E_n^r assumendo come base il sistema {ψ_k}}. Introducendo in E_n^r le usuali leggi di composizione, si ha che tale spazio assume la struttura di spazio vettoriale su K .

Definizione
Lo spazio vettoriale E_n^r si dice spazio prodotto tensoriale r volte di E_n

Teorema
Il sistema

è una base di E_n^r
Dim.

Dobbiamo dimostrare che si stratta di un sistema linearmente indipendente di ordine massimo. Comunque prendiamo una r-pla di 1-forme (elementi di E_n^*), dovrà essere per definizione di prodotto tensoriale

cioè

Scriviamo (con ovvio significato dei simboli):

Tenendo conto della relazione scritta più sopra

Se in particolare, prendiamo i vettori di base:

onde la precedente diviene:

Ne consegue che il sistema

è lineramente indipendente. Proviamo ora che si tratta di un sistema di ordine massimo. Tenendo conto delle relazioni scritte più sopra:

per cui il sistema

è linearmente dipendente, onde l'asserto.