[¯|¯] Pendolo parabolico di ordine n

Febbraio 29th, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Esercizio (Pendolo parabolico di ordine n)
Una pallina di massa m è lasciata cadere lungo una guida disposta in un piano verticale, avente la forma di una parabola di ordine n, cioè y=αxⁿ, dove α > 0 e n è un intero naturale pari. Studiare il moto della pallina, trascurando l'attrito e la resistenza dell'aria.
Soluzione
L'equazione della guida suggerisce l'esistenza di un sistema di coordinate la cui origine è il vertice della parabola. Per ipotesi la pallina è lasciata cadere da una altezza y₀, per cui la sua energia meccanica iniziale è puramente potenziale:

Di contro, l'energia meccanica a tutti i tempi è

Trascurare l'attrito e la resistenza dell'aria equivale ad assumere la conservazione dell'energia meccanica:

Cioè

da cui vediamo che la pallina non potrà superare la quota iniziale. È facile convincersi che i moti componenti lungo gli assi coordinati sono periodici. In particolare, il moto lungo l'asse x avviene tra -x0 e +x0, dove