[¯|¯] Limite di una funzione vettoriale

Febbraio 13th, 2020 | by Marcello Colozzo |

In questo numero ci proponiamo di estendere la nozione di limite di una funzione reale di variabile reale , alle funzioni vettoriali. Assegnata la solita terna di assi cartesiani Oxyz e i rispettivi versori degli assi, i quali costituiscono una base ortonormale {esub>1,{esub>2,{esub>3}, scriviamo la rappresentazione cartesiana di una data funzione vettoriale:

o ciò che è lo stesso

ove le funzioni scalari f_k(t) sono le componenti di f(t) nella base assegnata. Denotiamo poi con X (sottoinsieme di R) l'insieme di definizione delle singole componenti e quindi, di ff(t).
Se t₀ è un punto di accumulazione per l'insieme X, possiamo studiare il comportamento della k-esima componente f_k(t) in un intorno di tale punto. Come è ben noto da Analisi matematica 1, si dice che tale funzione è convergente per t->t₀, e si scrive:

Spieghiamo i vari simboli. J è un intorno di raggio ε di L_k, cioè

Inoltre

cioè un intorno di t₀. Notiamo che il raggio δ_ε dipende da ε, mentre quest'ultimo è preso ad arbitrio. La definizione precedente può essere riscritta in termini per così dire, numerici:

Da tenere poi presente che dobbiamo escludere t0, giacché per quanto precede non è detto che la funzione sia ivi definita (ripassatevi la nozione di punto di accumulazione). La definizione di limite di una funzione reale di una variabile reale ha un'immediata interpretazione geometrica, illustrata nella fig.

dove abbiamo denotato con η la variabile dipendente per non creare sovrapposizioni di simboli con la coordinata y del riferimento cartesiano in cui stiamo considerando la funzione vettoriale f(t). Da tale figura vediamo che il grafico della restrizione di f_k(t) all'intorno del punto t0 è contenuto nel rettangolo aperto dato dal prodotto cartesiano degli intorni che stiamo considerando.

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