» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Il concetto di base ortonormale rotante

Gennaio 11th, 2020 | by Marcello Colozzo |

Riprendiamo l'equazione che lega la derivata assoluta di una funzione vettoriale u(t) alla derivata relativa della medesima funzione, determinata in un sistema di coordinate K'(O'x'y'z') rotante rispetto al sistema K(Oxyz) in cui è calcolata la predetta derivata assoluta:

essendo ω il vettore velocità angolare di K'. Tale grandezza soddisfa le equazioni di Poisson

ove i',j',k' sono i versori degli assi coordinati di K'. Per un assegnato vettore ω le equazioni di Poisson costituiscono un sistema di tre equazioni differenziali vettoriali (quindi sei equazioni differenziali ordinarie) nelle incognite i'(t),j'(t),k'(t).

In sostanza, attraverso l'integrazione del predetto sistema, conosicmo la legge con cui i versori del sistema rotante variano in funzione del tempo. Si noti tuttavia, che nelle precedette equazioni il vettore ω deve essere rappresentato nella base ortonormale {i',j',k'} che possiamo chiamare base rotante e non nella base ortonormale del sistema fisso K, che possiamo denominare base fissa. D'altra parte, l'equazione vettoriale che lega la derivata assoluta alla derivata relativa, può essere scritta in una qualunque base ortonormale dello spazio euclideo tridimensionale. Ma se rappresentiamo il secondo membro della predetta equazione nella base rotante, tale dovrà essere il primo membro. Ad esempio, se u(t) è il vettore posizione r(t) di una particella, la suddetta equazione restituisce la ben nota legge di composizione delle velocità

Continua in pdf

Tags: base ortonormale rotante, velocità assoluta, velocità relativa

Articoli correlati