[¯|¯] Cavalcando un raggio di luce

Dicembre 26th, 2019 | by Marcello Colozzo |

raggio di luce,relatività ristretta,spaziotempo — **Fig. 1**

Ieri nella pagina facebook Problem solving Maths Physics è magicamente apparso un post davvero intrigante (fig. 1). Il risultato nullo della lunghezza dell'ipotenusa è corretto, a patto di assumere una metrica pseudoeuclidea. Più precisamente, da un punto di vista fisico, possiamo considerare una particella che compie un moto relativistico lungo una retta che assumiamo come asse x. Ne consegue uno spaziotempo 2-dimensionale V² con l'asse ct (in unità c=1) disposto come nella predetta figura. Come è noto dalla Relatività Ristretta, la metrica di tale spaziotempo è definita dal seguente tensore covariante di rango 2:

Si noti la segnatura -+ di tale metrica, con conseguente valore negativo di det(g_µν), da cui la struttura pseudoeuclidea di V². L'intervallo spaziotemporale si scrive a partire dal tensore metrico:

ove abbiamo assunto la convenzione di Einstein di somma sugli indici ripetuti due volte, di cui uno covariante e l'altro covariante. Sviluppando otteniamo

giacché x°=t (in unità c=1) e x¹=x. Per riprodurre tale relazione, possiamo utilizzare il seguente artificio: x°=it,x¹=x; cioè moltiplichiamo la coordinata temporale per l'unità immaginaria i=sqrt(-1), lasciando invariata la coordinata spaziale. Passando a quantità finite, precisamente all'intervallo spaziotemporale tra l'evento O(0,0) e l'evento A(it,x), si ha

In particolare se t=1,x=1 i.e. A(i,1), si ha s²=0 in accordo con la fig. 1, in cui l'ipotenusa del triangolo altro non è che la linea di universo di una particella che si muove a velocità v=1. Come è noto dalla Relatività Ristretta, una tale particella è massless ovvero ha massa a riposo nulla. Nello specifico si tratta della linea di universo di un fotone. Incidentalmente, la predetta ipotenusa appartiena alla frontiera del corrispondente cono-luce 2-dim.

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