[¯|¯] Interpretazione geometrica della congettura di Riemann |

[¯|¯] Interpretazione geometrica della congettura di Riemann

Luglio 23rd, 2019 | by Marcello Colozzo |

congettura di Riemann,interpretazione geometrica — **Fig. 1**

Ricordiamo che la serie di Dirichlet che restituisce la funzione zeta di Riemann ζ(x+iy), converge nel semipiano x > 1, mentre per x < = 1 si considera la sua estensione olomorfa. Inoltre, il punto (1,0) è una singolarità polare. Prendendo il modulo

si ha che la funzione reale e non negativa f, ha gli stessi zeri e le stesse curve di livello della ζ:

che denotiamo con

Per quanto precede

Ci si aspetta, dunque, che al crescere indefinito della costante reale e non negativa |C|, le curve di livello si "assottigliano" attorno alla singolarità. Ciò è confermato dal grafico di fig. 1. Geometricamente, l'operazione di passaggio al limite che restituisce +oo, si scrive:

cioè la curva di livello tende alla singolarità (1,0). Sempre dallo stesso grafico vediamo che nel caso opposto (|C| decrescente) le curve di livello tendono ad "allargarsi". Per la congettura di Riemann dovrà aversi

dove a secondo membro troviamo la retta critica

Più precisamente, si ha una perdita di cardinalità del luogo Γ_C, nel senso che nella predetta operazione di passaggio al limite, tale luogo si riduce a un insieme discreto di punti appartenenti alla retta critica: