[¯|¯] Derivata covariante

Luglio 15th, 2019 | by Marcello Colozzo |

Riprendiamo il problema della determinazione della derivata di un vettore covariante A_µ(x) definito sulla solita varietà differenziabile spaziotempo. Per definizione di derivata:

Per quanto visto nei numeri precedenti, il numeratore nel termine a secondo membro non è un vettore, e per renderlo tale dobbiamo trasportare parallelamente il vettore A_µ da x a x+dx, per cui il numeratore va riscritto come:

Rammentiamo che δA_µ è l'incremento infinitesimo delle componenti del vettore in seguito all'operazione di trasporto parallelo. Precisamente:

onde

Poniamo per definizione:

dove A_µ,ν denota la derivata ordinaria, mentre A_µ;ν è la derivata covariante del vettore A_µ. Applicando il medesimo procedimento a un vettore controvariante B^µ, si trova facilmente:

Osserviamo che la denominazione "derivata covariante" potrebbe generare confusione perché la derivata covariante B^µ_; non è un tensore covariante, per cui è più sensato parlare di derivata tensoriale. Sfortunatamente il termine "covariante" è divenuto di uso comune.
È facile generalizzare le formule ottenute, ricavando la derivata covariante di campi tensoriali. Ad esempio:

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