[¯|¯] Simmetria dei Gamma Symbols

Luglio 14th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Seguendo una terminologia dovuta al fisico matematico russo Vladimir Belinski, chiamiamo Gamma Symbols le connessioni affini definite nel numero precedente. Abbiamo poi visto che l'incremento (infinitesimo) delle componenti di un vettore covariante parallelamente trasportato da x a x+dx, è dato da

che a sua volta determina univocamente il corrispondente incremento delle componenti di un vettore controvariante B^µ. Per mostrare ciò partiamo dalla condizione

giacché il prodotto scalare è manifestamente invariante per trasporto parallelo. Tenendo conto che l'operatore & elta;agisce come un operatore differenziale, si ha

Permutando gli indici muti µ,ν nel primo termine a primo membro

Cioè

da cui

Ciò premesso, dimostriamo euristicamente che affinché lo spaziotempo M su cui stiamo lavorando, possa essere approssimato localmente da uno spaziotempo piatto, i Gamma Symbols devono essere simmetrici negli indici in basso. A tale scopo, fissato ad arbitrio un punto-evento dello spaziotempo, consideriamo due spostamenti elementari non paralleli: dξ^ß e dζ^ß, come mostrato in fig.

**Applicazione della regola del parallelogramma (locale) in uno spaziotempo curvo (supponendo che tale regola sia valida).**

Ci proponiamo di verificare localmente la regola del parallelogramma. È chiaro che dobbiamo trasportare parallelamente a sé stesso il singolo vettore nella direzione dell'altro. Precisamente:

La predetta regola è verificata se e solo se

Esplicitiamo primo e secondo membro dell'ultimo termine:

Sostituendo nella precedente ed eseguendo un'opportuna permutazione degli indici muti:

onde l'asserto:

Diversamente, si ha

Tale disuguaglianza è illustrata in fig.

**Se i Gamma Symbols non sono simmetrici negli indici in basso, non è possibile applicare la regola del parallelogramma nemmeno localmente.**

L'impossibilità di applicare la regola del parallelogramma nemmeno localmente, ci sta dicendo che lo spaziotempo su cui stiamo lavorando non può essere approssimato localmente da uno spaziotempo piatto, a causa di un termine di torsione. Tuttavia, questa circostanza potrebbe essere fisicamente interpretata attraverso alcune teorie che giustificano la torsione schematizzandola attraverso una sorgente di spin per i campi bosonici/fermionici nel paradigma della supersimmetria.

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