[¯|¯] Spin newtorks e spazi di Hilbert

Marzo 27th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Rappresentare gli spin networks di Penrose attraverso quell'oggetto topologico denominato grafo potrebbe essere fuorviante, in quanto si è automaticamente indotti a congetturare l'esistenza di uno spazio di background. Al contrario, lo scopo delle reti di spin consiste proprio nello svincolarsi da uno spazio di sfondo, in accordo con il principio di Mach. Rammentiamo incidentalmente, che la prima "avvisaglia" dell'assenza oggettiva del predetto spazio, proviene dalla Relatività Generale elaborata da A. Einstein nel 1916. Infatti, nacque un sodalizio tra Einstein e Mach proprio in relazione alle proprietà dello spazio. In sostanza, Mach sosteneva che l'inerzia altro non è che l'azione gravitazionale dei "corpi lontani" (che Mach chiamava "stelle lontane"). In parole povere, per Mach non esiste uno "spazio contenitore della materia", ma è l'interazione tra "parti di materia" che determina le proprietà dello spazio. Da qui la metafora einsteiniana del marmo pregiato (primo membro delle equazioni di Einstein, ovvero la geometria dello spaziotempo) e del legno rozzo (materia).

Ritornando agli spin networks, ciò che conta è lo stato quantico di singolo vertice del grafo rappresentativo della rete. Quest'ultimo è un vettore di uno spazio di Hilbert (n+1)-dimensionale, ove n=2s essendo s il momento angolare di spin (totale) di singola unità/vertice. Con abuso di linguaggio, possiamo asserire che una rete di spin sia in qualche modo isomorfa a un sottoinsieme di uno spazio di Hilbert (n+1)-dimensionale, i cui elementi hanno norma unitaria e rappresentano gli stati quantistici di singola unità.

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