[¯|¯] Base duale

Marzo 4th, 2019 | by Marcello Colozzo |

Iniziamo con il dimostrare il seguente lemma:
Lemma
Sia V uno spazio vettoriale n-dimensionale su un campo K, ed {esub>k} una sua base.

Dim.

Osserviamo innanzitutto che se

l'asserto è banalmente verificato dal funzionale nullo (i.e. vettore nullo dello spazio duale ^*V), per cui assumiamo:

Esistenza
Costruiamo la seguente applicazione da V verso K:

dove ξ₁,ξ₂,...,ξ_n sono le componenti del vettore ξ nella base {e₁,e₂,...,e__n}. Manifestamente φ è un elemento di ^*V. Per ξ=e__k si ha

giacchè

Unicità
Supponiamo che

Quindi

onde

dove

Ne consegue

onde l'asserto.
c.d.d.

Consideriamo i funzionali lineari:

Riesce

Inoltre

cioè

Ciò premesso, dimostriamo il teorema "illustrato" in fig. 1.

Il sistema di vettori ^*Σ={θ₁,...,θ_n} è univocamente determinato dalle

Per il lemma precedente si ha per un assegnato k in {1,2,...,n}:

Segue

Dobbiamo far vedere che ^*Σ è un sistema linearmente indipendente di ordine massimo, cioè:

Iniziamo con il punto 1, considerando l'equazione vettoriale:

Ne segue

Per ξ=e_h}:

onde

per cui ^*Σ è linearmente indipendente. Passiamo al punto 2, considerando

Denotiamo con φ_k gli elementi di matrice di φ nella base {e_k}:

Quindi applichiamo il funzionale

al vettore di base e_k:

da cui

Segue

onde

Cioè φ dipende linearmente da ^*Σ, per cui ^*Σ' è linearmente dipendente, giacché abbiamo trovato un suo elemento che dipende linearmente dai rimanenti.

c.d.d.

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