[¯|¯] Integrale generalizzato di una funzione di segno variabile

Febbraio 16th, 2019 | by Marcello Colozzo |

integrale generalizzato,funzioni di segno variabile — **Fig. 1**

La questione dell'integrabilità diviene più complicata se f non ha segno costante in X. In tal caso, conviene definire le funzioni:

entrambe non negative in X. Segue

che decompone univocamente una qualunque funzione f nelle due parti non negative f₁,f₂.

Evidentemente

Denotiamo con R₁ e R₂ i rettangoloidi generalizzati relativi a f₁ e f₂ e di base X:

Se R è il rettangoloide generalizzato relativo a f e di base X:

dove

cioè il simmetrico di R₂ rispetto all'asse x. A titolo di esempio, consideriamo la funzione:

il cui grafico è riportato in fig. 1. Risulta

graficate nelle seguenti figure:

Osserviamo che passando da f(x) a f₁(x) e f₂(x), i punti di discontinuità possono cambiare
specie , o divenire punti di continuità per la funzione. Ad esempio, x=1 è punto di discontinuità di seconda specie per f, ma è di prima specie per f₁. Il punto x=0 è di discontinuità di seconda specie per f, ma è punto di continuità per f₂. Nel caso in esame, risulta

per cui

come illustrato in fig. 1. La definizione suggerisce

giacchè

in quanto f_k è non negativa. Ne consegue che la definizione precedente è applicabile solo nei casi in cui almeno uno degli integrali a secondo membro è < +oo. Infatti se

la predetta formula si presenta nella forma indeterminata oo-oo, per cui diviene priva di significato. Geometricamente significa che almeno uno dei rettangoloidi R₁ e R₂ deve avere area finita.

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