[¯|¯] L'ineffabile leggerezza dell'indecidibilità

Febbraio 2nd, 2019 | by Marcello Colozzo |

matematico,sogno,gödel,hilbert,branduardi — .

In soldoni: se io dico "Tizio sta mentendo", tale enunciato può essere verificato o confutato. Nel primo caso, Tizio è un bugiardo, nel secondo, non è un bugiardo. Ma se dico: "io sto mentendo", ne consegue che io sto dicendo la verità se e solo se dico una bugia.

Questa è l'essenza del paradosso del mentitore. Quindi, in quel particolare sistema formale quale potrebbe essere il linguaggio ordinario, esistono enunciati che non possono essere né verificati né refutati.

Gödel fu un genio perchè riuscì a codificare il paradosso del mentitore in linguaggio matematico. Nello specifico, utilizzò il sistema formale più semplice: quello dell'aritmetica, generalizzandolo a un qualunque sistema formale.

Potrebbe sembrare una questione di lana caprina, ma l'esistenza di enunciati indecidibili distrugge la completezza di un sistema formale. Più precisamente, Gödel distrusse il programma di David Hilbert che cercò di automatizzare il concetto di dimostrazione.

Un sistema formale è completo se e solo se ogni proposizione può essere dimostrata o confutata

Per converso, l'esistenza di proposizioni indecidibili rende incompleto un sistema formale. Questa è l'essenza del famoso Teorema di incompletezza.

L'indecidibilità può essere interpretata alla stregua di sabbia mobile intellettuale, ma un'analisi più attenta mostra che non è così, perché racchiude l'ineffabile. Tra l'altro, cosa altro potrebbe essere la matematica, se non una forma d'arte come viene ben espressa da Angelo Branduardi: