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[¯|¯] È possibile spostare una cassa più pesante del proprio peso?

Novembre 25th, 2018 | by Marcello Colozzo |

Esercizio
Che tipo di scarpe (in termini di attrito statico) dovrebbe indossare un operaio per trascinare una cassa più pesante del peso dell'operaio medesimo?
Soluzione
Fissiamo innanzitutto la simbologia:

• M massa inerziale della cassa;
• m massa inerziale dell'operaio. Per ipotesi è m < M;
• µ_s coefficiente di attrito statico tra la cassa e il pavimento.
• µ'_s coefficiente di attrito statico tra le suole delle scarpe dell'operaio e il pavimento.

Ciò premesso, le forze agenti sulla cassa sono:

1. F (forza applicata dall'operaio);
2. P=Mg (peso della cassa);
3. R_N=-P (reazione vincolare normale);
4. R_T reazione vincolare tangenziale (forza di attrito statico).

Il diagramma delle forze è riportato in figura:

Risulta:

Se

non si verifica il distacco della cassa. Infatti, la condizione di distacco è:

Per il terzo principio della dinamica, se l'operaio applica una forza F sulla cassa, quest'ultima applica una forza -F sull'operaio. Ne consegue che sull'operaio le forze agenti sono:

1. -F (forza applicata dalla cassa);
2. P'=mg (peso dell'operaio);
3. R'_N=-P' (reazione vincolare normale);
4. R'_T reazione vincolare tangenziale (forza di attrito statico).

Il diagramma delle forze è riportato in figura:

La cassa si sposta se e solo se l'operaio non si distacca dal pavimento, cioè se e solo se

Tenendo conto dell'equazione, si ha

In particolare, se il coefficiente di attrito statico tra le suole e il pavimento è lo stesso del coefficiente di attrito tra cassa e pavimento, la cassa non si sposta. Peraltro, la condizione precedente non è sufficiente per risolvere il problema, giacché dobbiamo imporre µ'_s < 1. Quindi

Più precisamente

Tale doppia disuguaglianza determina univocamente l'insieme dei possibili valori di M affinché sia possibile il distacco. In altri termini, per assegnati valori di m e µ_s, il valore di M dovrà verificare la predetta limitazione. Nel caso contrario:

Per un assegnato valore

l'insieme dei valori possibili per µ'_s che risolvono il problema, è:

La presenza del rapporto M/m suggerisce di definire la seguente variabile adimensionale:

Segue

Riportando su un sistema di assi cartesiani in ascissa la variabile ? e in ordinate µ'_s

si ha che l'insieme soluzione è

Per un assegnato

il corrispondente valore di μ'_s deve appartenere all'intervallo

affinché si verifichi il distacco della cassa.


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Tags: coefficiente di attrito dinamico, coefficiente di attrito statico, scarpe

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