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[¯|¯] Oscillazioni smorzate. Il caso critico (oscillatore criticamente smorzato)

Marzo 20th, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Caso critico (b=b_crit)

L'equazione caratteristica ha una sola radice reale:

per cui un sistema di integrali fondamentali è

Pertanto l'integrale generale dell'equazione differenziale dell'oscillatore armonico smorzato si scrive:

Derivando otteniamo la velocità

Imponendo le condizioni iniziali

si perviene al sistema:

da cui

Quindi l'integrale particolare che ci interessa è:

e la velocità

Assumendo una velocità iniziale nulla le equazioni precedenti si scrivono:









A differenza del caso aperiodico dove intervenivano due costanti di tempo τ₁,τ₂, la scala dei tempi del transitorio è fissata dall'unica costante di tempo τ=(2m)/b:

A rigore:

Osserviamo che la costante di tempo è ora legata alla pulsazione caratteristica dall'evidente relazione:

Ad esempio, per ω₀=20rad/s otteniamo per l'ascissa x(t) l'andamento riportato in figura:

in fig. 1 (top di questa pagina) è plottato il diagramma delle orbite.
Ne concludiamo che anche nel caso criticamente smorzato, il punto materiale non compie oscillazioni e l'ascissa dopo un transitorio di durata τ, l'ascissa si annulla.

Tags: attrito, caso critico, oscillatore armonico smorzato, resistenza passiva

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