[¯|¯] La risonanza in un oscillatore armonico ideale
Marzo 17th, 2017 | by Marcello Colozzo |
Fig. Transizione nello spazio delle configurazioni di un oscillatore armonico ideale, dalla condizione di battimento (frequenza della forza esterna prossima alla frequenza propria) alla condizione di risonanza.
Consideriamo nuovamente il caso delle oscillazioni forzate
Supponendo di poter variare la frequenza Ω si ha:
Per rimuovere tale forma indeterminata applichiamo le formule di prostaferesi per ottenere:
Segue
L'uguaglianza
esprime la condizione di risonanza.
Per quanto precede, in condizioni di risonanza l'equazione oraria dell'oscillatore armonico si scrive:
dove l'ampiezza A(t) cresce linearmente nel tempo
In fig. 1 riportiamo il diagramma orario.
Fig. 1. Diagramma orario di un oscillatore armonico in condizioni di risonanza. L'ascissa oscilla con ampiezza linearmente crescente fino a quando la molla si spezza.
La velocità è
E quindi l'orbita dell'oscillatore risonante
graficata in fig. 2.
Fig. 2. Orbita di un oscillatore risonante.
Mostriamo ora, per via computazionale, che la risonanza è un caso particolare di battimento. Più precisamente, le frequenze delle oscillazioni componenti coincidono, ma il termine a denominatore
che si annulla assieme al numeratore dando luogo alla forma indeterminata 0/0, fa in modo che l'ampiezza dell'inviluppo di modulazione sia una funzione linearmente crescente del tempo. In altri termini, mentre in un qualunque battimento la predetta ampiezza varia sinusoidalmente nel tempo, ora cresce linearmente in funzione di t. Ciò può essere visto graficando l'ascissa per valori di Ω molto vicini a ω0, come illustrato nei grafici di figg. 3-4.
Fig. 3. Ascissa di un oscillatore in cui Ω=0.928ω0. È visibile una modulazione di ampiezza con legge sinusoidale, quindi un battimento.
Fig. 4. Ascissa di un oscillatore in cui Ω=0.999ω. La modulazione di ampiezza non è più sinusoidale, ma lineare. L'oscillatore è quasi risonante.
In fig. 5 riportiamo il diagramma delle orbite per Ω=0.009ω.
Fig. 5. Orbita di un oscillatore con Ω=0.009ω. Siamo lontani dalla risonanza.
Tags: battimenti, oscillatore armonico, risonanza, spazio delle configurazioni
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