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[¯|¯] Il fenomeno dei battimenti nello spazio delle configurazioni

Marzo 17th, 2017 | by Marcello Colozzo |

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L'evoluzione dinamica di un sistema meccanico composto da un punto materiale che si muove lungo una retta (asse x) può essere studiata in due paradigmi diversi:

1. Evoluzione nel dominio del tempo.
2. Evoluzione nel dominio delle configurazioni.

Nel primo paradigma, una volta determinata l'equazione oraria x=x(t), e quindi la derivata rispetto al tempo di x(t), si traccia il grafico delle funzioni x(t) e della derivata prima.

Nel secondo approccio, invece, l'evoluzione dinamica viene rappresentata in uno spazio astratto 2-dimensionale denominato spazio delle configurazioni. Per poter definire tale ente geometrico, iniziamo con l'osservare che l'equazione differenziale del moto derivante dal secondo principio della dinamica si scrive:

dove

essendo m la massa del punto materiale e F la forza applicata. L'equazione differenziale appena scritta è del secondo ordine ed è equivalente a un sistema di equazioni differenziali del primo ordine. Infatti, se in tale equazione differenziale eseguiamo il cambio di variabili:

si ha:

Quindi

che è un sistema di equazioni differenziali del primo ordine nelle funzioni incognite ξ(t),η(t). La totalità delle coppie ordinate

che soddisfano il sistema di equazioni differenziali appartengono allo spazio euclideo R² cartesianamente rappresentabile da un sistema di assi coordinati x e v. Abbiamo così definito lo spazio delle configurazioni del sistema meccanico assegnato, la cui evoluzione dinamica è geometricamente rappresentata dal moto del punto (x,v) lungo una curva Γ che definisce la regione dello spazio delle configurazioni accessibile al sistema, ed è nota come orbita del sistema medesimo. Una rappresentazione parametrica di Γ è

ove la funzione x(t) è l'unica soluzione del problema di Cauchy:

La coppia ordinata

definisce lo stato del sistema meccanico. Il teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni del predetto problema di Cauchy implica il determinismo fisico: lo stato meccanico a tutti i tempi è univocamente determinato dallo stato meccanico iniziale e dalla forza agente sul punto materiale.

Nel caso particolare delle oscillazioni libere di un oscillatore armonico ideale, abbiamo visto che l'equazione oraria è

La velocità scalare è

da cui otteniamo le equazioni parametriche dell'orbita:

In questo caso è possibile eliminare il parametro t, ottenendo la rappresentazione ordinaria dell'orbita:

ovvero un'ellisse di semiassi a=A,b=ω₀A, come illustrato in fig. 1.

Passiamo ora al caso delle oscillazioni forzate. Ricordiamo che se l'oscillatore è inizialmente a riposo nella posizione di equilibrio ed è soggetto a una forza

l'equazione oraria è

da cui ricaviamo immediatamente la rappresentazione parametrica dell'orbita:

il cui andamento dipende dalla frequenza Ω della forza esterna. Nel caso speciale Ω=0, cioè forza costante, si ottiene un ellisse del tipo mostrata in fig. 2

Al crescere di Ω l'ellisse subisce delle traslazioni lungo l'asse delle ascisse fino a sdoppiarsi, per poi separarsi. Più precisamente:

Al crescere di Ω l'orbita diviene più complessa. Ad esempio per Ω=0.59 rad/s (con ω₀=0.6 rad/s) si ha il grafico di si verifica il fenomeno dei battimenti la cui orbita è in fig. 4 (top di questa pagina).

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Tags: battimenti, determinismo fisico, Equazioni differenziali, spazio delle configurazioni

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