[¯|¯] Il fenomeno dei battimenti nello spazio delle configurazioni

venerdì, Marzo 17th, 2017

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Fig. Orbita di un oscillatore armonico di pulsazione ω0=0.6 rad/s. sottoposto a una forza esterna di pulsazione Ω=0.29 rad/s.


L'evoluzione dinamica di un sistema meccanico composto da un punto materiale che si muove lungo una retta (asse x) può essere studiata in due paradigmi diversi:

  1. Evoluzione nel dominio del tempo.
  2. Evoluzione nel dominio delle configurazioni.

Nel primo paradigma, una volta determinata l'equazione oraria x=x(t), e quindi la derivata rispetto al tempo di x(t), si traccia il grafico delle funzioni x(t) e della derivata prima.

Nel secondo approccio, invece, l'evoluzione dinamica viene rappresentata in uno spazio astratto 2-dimensionale denominato spazio delle configurazioni. Per poter definire tale ente geometrico, iniziamo con l'osservare che l'equazione differenziale del moto derivante dal secondo principio della dinamica si scrive:

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dove
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essendo m la massa del punto materiale e F la forza applicata. L'equazione differenziale appena scritta è del secondo ordine ed è equivalente a un sistema di equazioni differenziali del primo ordine. Infatti, se in tale equazione differenziale eseguiamo il cambio di variabili:

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si ha:
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Quindi
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che è un sistema di equazioni differenziali del primo ordine nelle funzioni incognite ξ(t),η(t). La totalità delle coppie ordinate
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che soddisfano il sistema di equazioni differenziali appartengono allo spazio euclideo R² cartesianamente rappresentabile da un sistema di assi coordinati x e v. Abbiamo così definito lo spazio delle configurazioni del sistema meccanico assegnato, la cui evoluzione dinamica è geometricamente rappresentata dal moto del punto (x,v) lungo una curva Γ che definisce la regione dello spazio delle configurazioni accessibile al sistema, ed è nota come orbita del sistema medesimo. Una rappresentazione parametrica di Γ è
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ove la funzione x(t) è l'unica soluzione del problema di Cauchy:
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La coppia ordinata
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definisce lo stato del sistema meccanico. Il teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni del predetto problema di Cauchy implica il determinismo fisico: lo stato meccanico a tutti i tempi è univocamente determinato dallo stato meccanico iniziale e dalla forza agente sul punto materiale.
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[¯|¯] Meccanica quantistica, determinismo fisico e problema di Cauchy

lunedì, Novembre 14th, 2016

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Pierre De Simon Laplace


Sia Sq un sistema quanto-meccanico in regime non relativistico. Enunciamo il seguente postulato:

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L'equazione differenziale che compare in (5) è l'equazione di Schrödinger scritta in forma operatoriale. Prima di specificare la forma dell'operatore H, osserviamo che il problema (5) è compatibile e determinato, comunque prendiamo lo stato iniziale |ψ0>.
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