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[¯|¯] Transitori circuitali, moti viscosi e automi cellulari

Inizialmente avevo intenzione di simulare il processo di carica di un condensatore nel paradigma degli automi cellulari. La simulazione non dice nulla di interessante, per la semplice ragione che trattandosi di un sistema lineare, non c'è traccia di caos deterministico. Avevo poi pensato di eseguire una simulazione sostituendo al condensatore un elemento circuitale non lineare come ad esempio il diodo a giunzione.

Sfortunatamente, in questo caso non abbiamo un sistema autonomo, per cui il formalismo sviluppato è inapplicabile (per la cronaca, il comportamento caotico del diodo può essere messo in risalto applicando una d.d.p dipendente dal tempo. Ma in questo caso non abbiamo un sistema autonomo). Esiste, tuttavia, un sistema fisico che potrebbe essere sottoposto a una simulazione del tipo automa cellulare. Precisamente, una pallina che si muove in un mezzo viscoso che esercita una resistenza passiva proporzionale al quadrato della velocità. La pallina è sottoposta, inoltre, a un campo di forze non posizionali. Per essere più specifici, abbiamo una forza proporzionale alla velocità (quindi, lineare in v). È chiaro che in assenza di forze viscose la velocità aumenta esponenzialmente. Di contro, il termine viscoso determina un'equazione del tipo

dove m è la massa della pallina, mentre b e k sono coefficienti di proporzionalità. In tale relazione riconosciamo l'equazione differenziale di Riccati-Bernoulli. Ricordiamo che tale equazione si integra in forma chiusa. La soluzione del corrispondente problema di Cauchy ha una semplice interpretazione fisica: dopo un transitorio esponenziale, la velocità della pallina raggiunge (asintoticamente) un valore di regime. Avevo già approfondito (in astratto, senza riferirmi a particolari sistemi fisici) tale argomento in quest' articolo. L'aspetto interessante è che mentre nel continuo non c'è la benchè minima traccia di caos deterministico, quando si discretizza la variabile indipendente (e cioè il tempo), ecco spuntare il comportamento caotico con tanto di punti di biforcazione, etc. In altri termini, studiando il moto della pallina nel continuo, i.e. utilizzando il paradigma delle equazioni differenziali, si assiste alla comparsa di una velocità limite che viene raggiunta teoricamente all'infinito. Discretizzando il tempo, invece, i.e. utilizzando il paradigma degli automi cellulari, è impossibile prevedere il valore della velocità di regime della pallina (tutto ciò è verso solo per particolari valori dei coefficienti che compaiono nell'equazione, nonchè del valore della massa inerziale della pallina. Ma questi sono solo dettagli tecnici).

Tags: automi cellulari, caos deterministico, equazione di bernoulli, transitori cellulari