» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Esercizio sulle funzioni inverse (parte 2)

Studiare l'invertibilità della funzione:

Svolgimento
Il campo di esistenza della funzione assegnata è il campo reale. Il suo grafico è la parabola y=x^2 ed è facile convincersi che la funzione non è strettamente monotona, onde non invertibile. Però è localmente monotona in senso stretto. Precisamente, risulta strettamente crescente in A=[0,+oo) e strettamente decrescente in B=(-oo,0].

Ne consegue che f è localmente invertibile. Per
determinare le inverse locali, risolviamo l'equazione algebrica sul campo reale:

Tale equazione è compatibile se e solo se y>=0, per cui il codominio della funzione è f(X)=[0,+oo). Quindi, assegnato y>=0, risulta:

Da ciò si deduce che le inverse locali sono:

Il grafico della funzione è riportato in fig. 1.

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Tags: equazione algebrica, funzione inversa, funzione localmente invertibile, inversa locale