[¯|¯] Esercizio sulle funzioni monotone

Settembre 27th, 2014 | by extrabyte |

Studiare la monotonia delle funzioni:

1) $f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert$

2) $f\left( x\right) =\left[ x\right]$

3) $f\left( x\right) =x-\left[ x\right]$

Tenendo conto del grafico della funzione $f\left( x\right) =\left\vert<br /> x\right\vert$ riportato in fig. 1 e della definizione di
funzione monotona, vediamo che $f$ non è monotona in $X=\mathbb{R}$ , ma lo è localmente. Infatti, posto $A=\left[ 0,+\infty\right)$ e $B=\left(-\infty,0\right]$ , si ha che $f_{A}$ è strettamente crescente e $f_{B}$ è strettamente decrescente. Ne concludiamo che $f$ è strettamente crescente in $A$ e strettamente decrescente in $B$ .

Dal grafico di $f\left( x\right) =\left[ x\right]$ vediamo che tale funzione è crescente nel suo insieme di definizione. Quindi la funzione parte intera di $x$ è monotona (ma non in senso stretto).

3) $f\left( x\right) =x-\left[ x\right]$ . Anche qui è $X=\mathbb{R}$ .
Si ottiene facilmente:
\begin{align}
n & =1\Longrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\in\left[ 0,1\right) \Longrightarrow f\left( x\right) =x\\
x\in\left( -1,0\right] \Longrightarrow f\left( x\right) =x
\end{array}
\right. \\
n & =2\Longrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\in\left[ 1,2\right) \Longrightarrow f\left( x\right) =x-1\\
x\in\left( -2,-1\right] \Longrightarrow f\left( x\right) =x+1
\end{array}
\right. \nonumber\\
n & =3\Longrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\in\left[ 2,3\right) \Longrightarrow f\left( x\right) =x-2\\
x\in\left( -3,-2\right] \Longrightarrow f\left( x\right) =x+2
\end{array}
\right. \nonumber\\
& ...\nonumber
\end{align}

Da ciò segue che il grafico della funzione ha l'andamento illustrato in fig. 2.

funzione parte intera di x — **Fig. 2.**

Inoltre $X=X_{1}\cup X_{2}$ , dove:

Abbiamo, cioè, una partizione di $X$ , e $f$ è strettamente crescente in ogni $\left[ n-1,n\right)$ , \ $\left( -n,-n+1\right]$ . Ne concludiamo che la funzione proposta è strettamente crescente a tratti.