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[¯|¯] Studio della funzione

Raccogliendo alcuni vecchi post sullo studio della funzione abbiamo completato un ebook liberamente scaricabile (vedi link al termine del post).

Ricordiamo sommariamente l'algoritmo risolutivo per lo studio del diagramma cartesiano o grafico di una funzione reale di una variabile reale. Sia $f$ una funzione reale definita in $X\subseteq \mathbb{R}$, cioè $f:X\rightarrow \mathbb{R}$. Qui $X$ è l'insieme di definizione (denominato anche campo di esistenza o dominio) della funzione.

Lo schema di calcolo è il seguente:

1. Ricerca dell'insieme di definizione
   Per determinare $X$ si applicano le condizioni tali che $f\left( x\right)$ sia reale. Ad esempio, se $f\left( x\right) =\sqrt{x}$ deve essere $x\geq0$.
2. Intersezione con gli assi coordinati
   Si determinano le intersezioni del grafico della funzione con gli assi coordinati. E ciò non ha bisogno di spiegazioni.
3. Segno della funzione
   Si risolve la disequazione $f\left( x\right)>0$, in modo da poter tracciare le regioni del piano cartesiano attraversate dal grafico.
4. Simmetrie
   Si studia la parità della funzione. Ricordiamo che una funzione è pari se $f\left( -x\right) =f\left( x\right) ,\,\,\,\forall x\in X$, mentre è dispari se $f\left( -x\right) =-f\left( x\right) ,\,\,\,\forall x\in X$. Nel primo caso il grafico è simmetrico rispetto all'asse $y$. Nel secondo caso, invece, è simmetrico rispetto all'origine delle coordinate. Per lo studio di una funzione di parità definita (cioè pari o dispari) è sufficiente studiare l'andamento del grafico in $X\cap\left[ 0,+\infty\right)$.
5. Comportamento agli estremi dell'insieme di definizione
   Per estremi intendiamo i punti di accumulazione dell'insieme di definizione, sia al finito che all'infinito. Il comportamento viene studiato con un'operazione di passaggio al limite. In tal modo si determinano gli eventuali punti di discontinuità e singolarità della funzione. N.B. Lo studio del segno (punto 3) agevola il calcolo dei limiti.
   Se l'insieme di definizione è illimitato superiormente e la funzione è convergente a $l$ per $x\rightarrow+\infty$, diremo che la retta orizzontale $y=l$ è un asintoto orizzontale a destra per il grafico della funzione. Simili considerazioni se l'insieme di definizione è illimitato inferiormente.
6. Calcolo della derivata prima
   Si calcola la derivata prima per lo studio della monotonia e della ricerca dei punti di estremo relativo.
7. Ricerca degli estremi relativi
   Le radici dell'equazione $f^{\prime}\left( x\right) =0$ sono i punti estremali per la funzione. Tra questi vanno ricercati i punti di estremo relativo. A tale scopo si risolve la disequazione $f^{\prime}\left( x\right) >0$ le cui soluzioni definiscono l'intervallo in cui la funzione è monotamente crescente. Se in un punto estremale $x_{0}$ si verifica un'inversione della monotonia, allora si tratta di un punto di estremo relativo. Precisamente, di massimo relativo se la funzione è crescente per $x<x_{0}$ e decrescente per $x>x_{0}$. E viceversa nel caso contrario. In alternativa, si determina il segno della derivata seconda in $x_{0}$ (vedi punto successivo)
8. Calcolo della derivata seconda
   Si calcola la derivata seconda per lo studio della concavità/convessità del grafico della funzione e per la ricerca di punti di flesso del diagramma medesimo. Questi ultimi si ricercano tra le radici dell'equazione $f^{\prime\prime}\left( x\right) =0$, dopodichè si risolve la disequazione $f^{\prime\prime}\left( x\right) >0$ che individua la regione in cui il grafico della funzione è concavo o, ciò che è lo stesso, volge la concavità verso l'alto. Nei punti di flesso si ha un "cambio di concavità" del grafico e, per quanto detto, le ascisse di tali punti risolvono l'equazione $f^{\prime\prime}\left( x\right) =0$
9. Asintoti obliqui
   Se l'insieme di definizione è illimitato superiormente, si calcola il limite $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left( x\right) }{x}$. Se tale limite esiste finito, poniamo $m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left( x\right) }{x}$ che è il coefficiente angolare dell'asintoto. Quindi si calcola $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[ f\left( x\right) -mx\right]$. Se tale limite esiste finito si pone $n=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[ f\left( x\right) -mx\right]$ che è l'ordinata all'origine dell'asintoto. Più precisamente, abbiamo un asintoto obliquo a destra di equazione $y=mx+n$. Considerazioni simili se l'insieme di definizione è illimitato inferiormente.

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Tags: Asintoti, Concavità - convessità - punti di flesso, Limiti di funzioni reali di una variabile reale, Studio della funzione