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[¯|¯] Limite della funzione f(x)=sin(1/x) per x tendente a zero

Nel post precedente abbiamo dimostrato che una qualunque funzione periodica è non regolare all'infinito, cioè non ammette limite, nè finito e nè infinito. Oggi prendiamo in considerazione la funzione f(x)=sin(1/x) che è manifestamente non periodica e definita su tutto l'asse reale privato dell'origine. Più specificatamente x=0 è di accumulazione per il campo di esistenza della funzione. Possiamo perciò studiarne il comportamento in un intorno di tale punto, ossia vedere se esiste il limite di f(x) per x che tende a zero. Domanda: esiste questo limite?

La risposta è no. L'asserto è dimostrabile banalmente servendoci del teorema del post precedente, secondo cui una funzione periodica, ad esempio la funzione sin(x) non ammette limite per |x|->+oo. Quindi, eseguendo il cambio di variabile in f(x)=sin(1/x) dato da t=1/x, otteniamo la funzione g(t)=f[x(t)]=sin(t) e si ha limf(x) per x->0 è il limg(t) per |t|->+oo, ma detto limite non esiste, da cui l'asserto. Nel file che proponiamo (vedi più sotto) c'è una dimostrazione più lunga e ne vale la pena, poichè ci servirà più avanti quando parleremo della continuità delle funzioni.

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Tags: funzione non periodica, funzione periodica, Limiti di funzioni reali di più variabili, punto di accumulazione