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[¯|¯] PNT - Teorema dei Numeri Primi

In fig. 1 riportiamo il grafico della funzione di distribuzione dei numeri primi (generato con Mathematica) confrontato con la sua approssimazione asintotica u(x)=x/ln(x) in virtù del Teorema dei Numeri Primi. Tale approssimazione oltre a essere asintotica, è non-locale i.e. globale, giacché non riproduce le discontinuità locali della funzione di distribuzione dei primi. Per quanto visto, le predette discontinuità (in corrispondenza dei numeri primi) sono generate dalla distribuzione degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann. Incidentalmente, la parte reale e la parte immaginaria della zeta sono funzioni rapidamente oscillanti (in particolare sulla linea critica).

Tali termini oscillanti danno luogo - attraverso una complicata analisi matematica - ad altrettanti "termini correttivi" oscillanti che modificano la distribuzione continua, generando le discontinuità di prima specie. A questo punto si potrebbe congetturare che ciò sia una caratteristica comune a tutte le serie di Dirichlet nel senso che esse forniscono i giusti termini per riprodurre le infinite discontinuità di prima specie di funzioni non elmentarmente esprimibili.

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Tags: congettura di riemann, funzione zeta, zeri non banali