» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] La relazione di parallelismo tra rette di un piano, quale relazione in un insieme

venerdì, Giugno 22nd, 2018

Consideriamo l'insieme S delle rette di un piano α dello spazio euclideo tridimensionale (spazio ordinario). Sia

essendo ρ(r) l'insieme delle rette di a parallele ad r. In altri termini, ρ è la relazione di parallelismo tra rette di un piano:

La relazione inversa è:

ove

Ma ρ(r) è l'insieme delle rette parallele ad r, per cui anche ρ^-1(r') è l'insieme delle rette parallele ad r. Quindi

Proposizione (Proprietà simmetrica)

Dimostrazione

Proposizione (Proprietà riflessiva)

Dimostrazione

Segue immediatamente dall'osservare che ogni retta è parallela a sé stessa.

Proposizione (Proprietà transitiva)

Dimostrazione

Segue immediatamente dall'osservare che se r è parallela ad s, s a sua volta è parallela a t, necessariamente r è parallela a t.

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[¯|¯] Relazioni in un insieme. Proprietà riflessiva, proprietà simmetrica, transitiva, antisimmetrica

giovedì, Giugno 21st, 2018

In una lezione precedente abbiamo introdotto la nozione di corrispondenza tra insiemi. Oggi parleremo di relazione tra gli elementi di un assegnato insieme.

Definizione
Comunque prendiamo un insieme non vuoto S, dicesi relazione una qualunque corrispondenza di S su sé stesso, i.e. una corrispondenza da S verso S:

Posto

scriviamo

che si legge "x è in relazione con x'".








Per quanto precede, l'assegnare una relazione ρ in S, determina univocamente la corrispondenza inversa

ove

Definizione
Chiamiamo ρ^-1 relazione inversa

Proposizione
Comunque prendiamo x,x' quali elementi di S, x è in relazione con x' se e solo se x' è in relazione inversa con x.

Dimostrazione

Esaminiamo ora alcune proprietà che possono essere verificate da una relazione assegnata.

1. Proprietà riflessiva
   Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà riflessiva se
   

2. Proprietà simmetrica
   Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà simmetrica se
   

3. Proprietà antisimmetrica
   Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà antisimmetrica se
   

4. Proprietà transitiva
   Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà transitiva se
   

Vai alla lezione successiva

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