[¯|¯] Relazioni in un insieme. Proprietà riflessiva, proprietà simmetrica, transitiva, antisimmetrica
giovedì, Giugno 21st, 2018In una lezione precedente abbiamo introdotto la nozione di corrispondenza tra insiemi. Oggi parleremo di relazione tra gli elementi di un assegnato insieme.
Definizione
Comunque prendiamo un insieme non vuoto S, dicesi relazione una qualunque corrispondenza di S su sé stesso, i.e. una corrispondenza da S verso S:
Posto
scriviamo
che si legge "x è in relazione con x'".
Per quanto precede, l'assegnare una relazione ρ in S, determina univocamente la corrispondenza inversa
ove
Definizione
Chiamiamo ρ-1 relazione inversa
Proposizione
Comunque prendiamo x,x' quali elementi di S, x è in relazione con x' se e solo se x' è in relazione inversa con x.
Dimostrazione
Esaminiamo ora alcune proprietà che possono essere verificate da una relazione assegnata.
- Proprietà riflessiva
Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà riflessiva se
- Proprietà simmetrica
Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà simmetrica se
- Proprietà antisimmetrica
Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà antisimmetrica se
- Proprietà transitiva
Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà transitiva se