[¯|¯] Funzione dissipativa e potenza dissipata istantanea

sabato, Marzo 4th, 2017

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Nel post precedente abbiamo introdotto la nozione di valore efficace di una funzione continua. Procediamo ora con la seguente definizione:
Definizione 1
Comunque prendiamo un elemento f dello spazio funzionale C([a,b]), chiamiamo funzione dissipativa associata a f l'elemento di C([a,b]) dato da

essendo ß un numero reale positivo assegnato.
Definizione 2
La potenza istantanea dissipata dalla R_f(x) è

Da ciò segue che il valor medio di W_f(x) è:
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Cioè

Per esplicitare il significato di tali locuzioni consideriamo il seguente esempio tratto dalla meccanica classica: una particella di massa m si muove lungo l'asse x in un campo di forze F(x) e sotto l'azione di una forza viscosa, come illustrato in figura:

In regime lineare
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dove b>0 e v è il vettore velocità. Per la seconda legge di Newton:
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essendo i il versore dell'asse x. Proiettando tale equazione vettoriale sull'asse x, otteniamo l'equazione scalare:

Cioè

avendo definito il coefficiente di smorzamento per unità di massa:

Abbiamo così ottenuto un'equazione differenziale lineare del primo ordine in v(t). Per F=0 tale equazione è omogenea, per cui abbiamo il seguente problema di Cauchy:

la cui unica soluzione è

dove

è una costante di tempo. Precisamente:

L'energia meccanica della particella si riduce al solo termine cinetico, giacché stiamo considerando F(x)=0. Quindi
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Tale risultato è consistente, perché l'energia cinetica iniziale

viene dissipata dalla forza viscosa tramite un fattore di smorzamento esponenziale. L'energia dissipata per unità di tempo i.e. la potenza dissipata è