Il Calcolo Proposizionale secondo Douglas Hofstadter
giovedì, Maggio 27th, 2021
Introduzione
Il Calcolo Proposizionale secondo Douglas Hofstadter è un particolare sistema formale privo di assiomi (vedremo a breve come inizializzare il processo per la dimostrazione dei teoremi). Naturalmente abbiamo un alfabeto di simboli e un insieme di regole. Di seguito i simboli:
Definizione
Le stringhe ben formate sono tutte e sole le stringhe che danno luogo a enunciati semanticamente corretti. Ad esempio, i teoremi derivanti dagli assiomi di un qualunque sistema formale sono stringhe ben formate.
Definizione
Nell'alfabeto dei simboli, P,Q,R sono gli atomi del Calcolo Proposizionale. Naturalmente possono essere utilizzate altre lettere eventualmente dotate di apici. Gli atomi sono stringhe ben formate.
Passiamo alle regole.
Regola di Congiunzione. Se x e y sono teoremi del Calcolo Proposizionale, allora la stringa
è un teorema.
Abbiamo poi le seguenti regole che possono essere applicate ricorsivamente:
Regole di Formazione. Se x e y sono stringhe ben formate, allora sono ben formate le stringhe:
Altre regole:
Regola di Separazione. Assegnate le stringhe ben formate x e y, se
è un teorema, allora x e y sono teoremi.
Regola del doppio gancio. La stringa
può essere cancellata quando compare in un teorema.
Avevamo detto che il Calcolo Proposizionale è un sistema formale privo di assiomi. Nonostante ciò, i teoremi vengono dimostrati utilizzando la cosiddetta Regola di fantasia. Si parte da una stringa ben formata x scelta ad arbitrio. Si procede quindi per derivazione applicando le regole precedenti. Denotiamo con y l'ultima riga del processo di derivazione. Hofstadter chiama fantasia tutto ciò che si trova tra x e y (inclusi). Precisamente, x è la premessa della fantasia, mentre y ne è la conclusione. La fantasia mostra che:
Indipendentemente da ciò, la stringa ben formata
è un teorema. Per segnalare l'entrata in una fantasia ("push" in una fantasia) si utilizza la parentesi quadra [, mentre l'uscita ("pop" della fantasia) è simboleggiata da ]. Ad esempio, utilizziamo come stringa di partenza l'atomo P. Si noti che non è un teorema, ma ciò non ha importanza, nel senso che poi ci chiediamo: "che cosa succederebbe se lo fosse?".
La fantasia mostra che
In altri termini, solo quest'ultima riga è un teorema. Tutto il resto è fantasia.
Ricorsività della fantasia
Il lettore attento avrà intuito la natura ricorsiva della regola di fantasia. Possiamo quindi implementare fantasie dentro fantasie, fantasie con ricorsione n-pla, etc. Ciò implica l'esistenza di svariati «livelli di realtà» esattamente come nei film con altri film annidati. Quando si esegue un'uscita (pop) da un film-in-un-film, sembra per un momento di aver raggiunto il mondo reale, anche se ci si trova sotto di un piano rispetto al livello più alto. Allo stesso modo, quando si esce da un pop da una fantasia-in-una-fantasia, ci si trova in un mondo «più reale» del precedente, ma non ancora al livello più alto. A tal fine, abbiamo la seguente regola:
Regola del trasferimento. All'interno di una fantasia si può inserire e usare qualsiasi teorema appartenente alla «realtà» del livello immediatamente superiore.
Metaforicamente, è come se un cartello «Vietato fumare» in una sala cinematografica riguardasse non solo tutti gli spettatori, ma anche tutti gli attori del film e, iterando, la stessa idea, riguardasse anche i personaggi dei film annidati all'interno del film proiettato (con l'avvertenza che non è possibile invertire il percorso).
Il significato dei simboli
Dagli esempi risulta chiaro che secondo il linguaggio naturale, il simbolo
sta per "e", mentre
sta per "o". Il gancio, invece, esprime una negazione. Le parantesi angolari svolgono un ruolo simile alle parentesi dell'algebra ordinaria. Riguardo agli atomi, questi vengono interpretati alla stregua di un enunciato utilizzando il linguaggio naturale. In fig. alcuni esempi suggestivi:
Congettura di Riemann
Trasformata discreta di Fourier
Trasformata di Fourier nel senso delle distribuzioni
Trasformata di Fourier 
Infinitesimi ed infiniti
Limiti notevoli
Punti di discontinuità
Misura di Peano Jordan
Eserciziario sugli integrali
Differenziabilità 
Differenziabilità (2)
Esercizi sui limiti
Appunti sulle derivate
Studio della funzione
Esercizi sugli integrali indefiniti
Algebra lineare
Analisi Matematica 2
Analisi funzionale
Entanglement quantistico
Spazio complesso
Biliardo di Novikov
Intro alla Meccanica quantistica
Entanglement Quantistico
