» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Integrazione in un intorno di un punto singolare regolare. Il metodo di Frobenius

Assegnata l'equazione differenziale

supponiamo che x₀ sia un punto singolare regolare. Si noti che possiamo porre x₀=0 (basta eseguire il cambio di variabile t=x-x₀. Enunciamo senza dimostrare il seguente
Teorema di esistenza
Se x=0 è un punto singolare regolare dell'equazione differenziale assegnata, in un opportuno intorno destro del predetto punto, la predetta equazione ammette una soluzione del tipo

dove λ è una costante.

Questo teorema è il punto di partenza del metodo di Frobenius, che consiste nel determinare λ, "forzando la soluzione" ossia imponendo che la serie di potenze scritta sopra risolva l'equazione assegnata. In tal modo si perviene a un'equazione di ricorrenza per i coefficienti della serie di potenze, e ad un'equazione per λ, nota come equazione indiciale. Precisamente, è un'equazione quadratica per cui ci aspettiamo (in generale radici complesse). Escludendo questo caso, si ha

Ci aspettiamo, quindi, due integrali particolari y1(x),y2(x) linearmente indipendenti, per cui l'integrale generale in un intorno destro di x=0, si esprime come combinazione lineare dei predetti integrali: