» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Densità uniforme e densità puntiforme (o puntuale)

Dicembre 2nd, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Sia data una successione di elementi di R

dove il termine generico è y_n=f(n) essendo

Il codominio di f

Se la successione è limitata, i.e.

allora

Ci proponiamo di stabilire sotto quali condizioni (su f) l'insieme Y è denso in Y'. Innanzitutto ricordiamo che la locuzione «Y è denso in Y'» significa che ogni elemento y di Y' o appartiene a Y o è un punto di accumulazione per Y. La prima circostanza è banale giacché implica Y=Y'. Denotando con D(Y) il derivato di Y (i.e. l'insieme dei punti di accumulazione al finito), si ha

Ricordiamo altresì che

è la chiusura (o aderenza) di Y. Ne consegue che Y è denso in Y' se ogni punto di Y' è di aderenza per Y. La nostra ipotesi è l'inclusione stretta di Y in Y', per cui nel caso in esame Y è denso in Y' se e solo se ogni punto di Y' è di accumulazione per Y. Quindi scriveremo:

Ne segue

Si noti che in generale, l'indice n in corrispondenza del quale il termine n-esimo della successione cade nell'intorno prefissato di y, dipende da δ. Vedere fig. 1, dove per ogni δ > 0 troviamo in corrispondenza un indice n_δ tale che il punto P_δ(n_δ,y_nδ appartiene al segmento di estremi (n_δ,y-δ) e (n_δ,y+δ).
Prendendo un δ > 0 «non troppo grande» cioè tale che

il problema proposto si risolve attraverso il sistema di disequazioni

che va risolto rispetto a n_δ. Se il corrispondente insieme delle soluzioni è non vuoto, allora diremo che Y è denso in Y'. In alcuni casi speciali, il predetto indice può non dipendere da δ. In tali circostanze, diremo si parlerà di densità uniforme ovvero che Y è uniformemente denso in Y'. Nel caso contrario si ha una densità puntuale o una densità uniforme.

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