[¯|¯] Intro all’interpretazione di David Bohm della meccanica quantistica

[¯|¯] Intro all'interpretazione di David Bohm della meccanica quantistica

Aprile 5th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Qui diamo per scontata l'ipotesi di De Broglie e le argomentazioni che portarono Schrödinger a formulare l'omonima equazione che scriviamo nel caso unidimensionale:

dove stiamo considerando una particella di massa inerziale m che si muove lungo l'asse x sede di un campo di forza di energia potenziale V(x). Nel caso speciale di una particella libera:

È immediato verificare che tale equazione differenziale è soddisfatta da

dove A è una costante, mentre p è l'impulso e come tale è una costante del moto per il sistema in istudio. L'equazione precedente descrive la propagazione di un'onda piana di vettore d'onda con modulo

e pulsazione

essendo E=p²/(2m)) l'energia della corrispondente particella classica. Osserviamo incidentalmente che quest'ultima compie un moto rettilineo ed uniforme da -oo a +oo (se p è concorde all'asse x) con velocità scalare

L'idea di Bohm consiste nello scrivere la funzione complessa ψ nella forma polare:

defininendo le seguenti funzioni reali

Calcolando le derivate parziali e dopo averle inserite nelle equazioni più sopra, si ottiene

Per ora, anziché sbattersi nel tentativo di risolvere tale sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali (o magari tentando di fornire un'interpretazione fisica), osserviamo banalmente che nel caso in esame è:

mentre l'argomento è

Per quanto precede, le grandezze p (impulso) ed E (energia della particella classica) sono costanti del moto, per cui S(x,t) è una funzione lineare. Ciò implica

La prima è molto interessante, perchè dalla p=mv, possiamo ricavare la velocità

che si generalizza immediatamente al caso tridimensionale in cui è S(x,t):

Questa equazione ci sta dicendo che l'argomento della funzione d'onda ossia il campo scalare S(x,t), è tale che la traiettoria della particella classica è ortogonale alla superficie S(x,t)=costante.

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