» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Introduzione al condensatore

Dicembre 22nd, 2022 | by Marcello Colozzo |

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L'energia elettrostatica di una distribuzione di carica ρ(x) è

dove V(x) è il potenziale del campo elettrostatico generato dalla predetta distribuzione:

Ciò premesso, consideriamo n conduttori disposti secondo una assegnata geometria. Supponiamo che ogni conduttore sia elettricamente carico e denotiamo con Q_i la carica totale del conduttore i-esimo. Dall'equazione precedente vediamo che il potenziale si comporta alla stregua di un operatore lineare. Nel caso particolare degli n conduttori tale linearità implica

dove p_ij sono coefficienti reali che dipendono dalla geometria dei conduttori. È ragionevole assumere

per cui le equazioni scritte sopra compongono un sistema di equazioni lineari nelle n incognite Q_i e termini noti V_i. Il non annullarsi del determinante della matrice dei coefficienti, rende tale sistema compatibile e determinato. Risolvendo con la regola di Cramer, l'unica soluzione si scrive come:

I coefficienti C_ij si chiamano coefficienti di induzione se i diverso da j, mentre per i=j abbiamo i coefficienti di capacità (o semplicemente capacità) C_ii. Per rendere più chiara l'esposizione, scriviamo per esteso le soluzioni:

dove vediamo che la capacità dele conduttore 1 è la sua carica totale Q₁, quando esso è mantenuto al potenziale unitario:

mentre i rimanenti sono mantenuti a potenziale zero. Cioè

che si generalizza immediatamente

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