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Studio della funzione f(x)=arccos(-cosx)

Luglio 10th, 2022 | by Marcello Colozzo |

Siamo tentati a scrivere:

Ma ciò è sbagliato. Precisamente, se f:X->R è una funzione invertibile, si ha:

essendo f^-1 l'inversa. Tuttavia cosx non è invertibile, ma lo è localmente. Per convenzione viene preso l'intervallo [0,π] ove cosx è strettamente crescente (quindi invertibile), da cui l'esistenza dell'inversa che come sappiamo è denominata con arccos. Ne segue

Inoltre, arccos(cos x) è pari ed è periodica di periodo 2π. Quindi, possiamo ricostruire per simmetria rispetto all'asse delle ordinate, il suo grafico nell'intervallo [-π,0]. Il risultato è in fig.

Tenendo poi conto della periodicità otteniamo il grafico di fig.

Passiamo ora alla funzione assegnata. A tale scopo ricordiamo che

per cui

e tenendo conto del risultato precedente

mentre in [-π,0] si procede per simmetria rispetto all'asse y, ottenendo il grafico di fig.

Infine, tenendo conto della parità della funzione coseno, si ha

per cui il grafico della funzione assegnata è il grafico di arccos(cosx) traslato di π nella direzione dell'asse x positivo, come vediamo in fig.

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